La figure fractale

Une figure fractale ou fractale est une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne. Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 19741 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier (fractale n.f). Dans la « théorie de la rugosité » développée par Mandelbrot, une fractale désigne des objets dont la structure est invariante par changement d’échelle.

Ce terme était au départ un adjectif : les objets fractals (selon un pluriel formé sur l’exemple de « chantiers navals »). Les fractales sont définies de manière paradoxale, en référence aux structures gigognes dont ils constituent des cas particuliers : « Les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points, les attracteurs de la structure gigogne classique. Cette conception hologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition tautologique : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal ». Malgré les apparences, ce type de définitions de nature récursive n’est pas seulement théorique mais peut concerner aussi des concepts usuels : un ancêtre est un parent ou un ancêtre d’un parent, un multiple est un composé d’un nombre ou d’un multiple de ce nombre, un escalier commence ou prolonge un escalier, une dynastie inaugure ou prolonge une dynastie, etc.

Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins.

Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent être modélisés par ordinateur à l’aide d’algorithme récursif comme les L-Systems. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d’un arbre ou la fronde d’une fougère sont des répliques miniatures de l’ensemble : pas identiques, mais de nature similaire.

La surface d’une montagne peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l’algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l’Univers à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l’origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l’univers fractal, décrivant un univers fondé sur les fractales.

Les domaines d’application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier4 :

en biologie, répartition des structures des plantes, bactéries, feuilles, branches d’arbres…

en géologie, étude du relief, côtes et cours d’eau, structures de roches, avalanches…

en paléontologie, loi de puissance des apparitions et extinctions d’espèces

en morphologie animale, structures des invertébrés, plumes d’oiseaux…

en médecine, structure des poumons, intestins, battements du cœur

en météorologie, nuages, vortex, banquise, vagues scélérates, turbulences, structure de la foudre

en volcanologie, prévision d’éruptions volcaniques, tremblements de terre

en astronomie avec la description des structures de l’univers, cratères sur la Lune, répartition des exoplanètes et des galaxies

en sciences humaines, structure urbaine, évolution de la démographie

en économie et finance, prévision des krachs boursiers (théorie des fractales)

en électronique, antennes larges bandes des téléphones portables

dans les arts, art graphiques bien sur, mais aussi en littérature, en musique, au cinéma

Tous ces domaines – et bien d’autres – peuvent bénéficier de la description et d’une modélisation en termes fractals des phénomènes associés.

Le modèle commence tout particulièrement à se développer en finance, où l’approche fractale de Mandelbrot se prête aux marchés volatils. La société de gestion d’actifs Bryan Garnier Asset Management utilise ainsi dans la gestion de son fonds Bryan Garnier Opportunités un modèle identifiant les répétitions mathématiques afin de prévoir certains mouvements de prix à court-terme. Cette approche systematique est basée sur la volatilité et l’accélération des échanges de titres afin de valider les tendances. Une anticipation des variations est ainsi immédiatement inscrite sur le modèle: si la variation est d’ampleur suffisante, elle permet de prendre par exemple une position short sur le marché.

Extrait de http://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale

Autres liens :

http://www.syti.net/MandelBulb.html

http://blog.syti.net/index.php?article=479

 

 

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